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Les Bonnes Notes

 

Des conseils, des astuces, mais aussi du coaching et des bilans scolaires personnalisés
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15 février 2012 3 15 /02 /février /2012 08:00
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Grande découverte cette année en Terminale, les primitives et les intégrales de fonctions! Jusqu'à présent vous saviez calculer la dérivée d'une fonction, à présent vous allez devoir trouver sa primitive, c'est à dire faire le travail inverse.

 

A quoi ça sert?

Le but ultime est de calculer des aires que l'on ne serait pas capables de calculer par des formules. Toute forme géométrique composée de segments peut être découpée en formes connues ( triangles, trapèzes rectagles etc) pour en calculer l'aire. Mais lorsque le contour de la forme est courbe, et que ce n'est pas un arc de cercle, la seule méthode consiste à utiliser les intégrales. Sous certaines conditions à vérifier , l'aire cherchée sera égale à une intégrale à calculer.

 

Que dit le cours?

Il dit pas mal de choses, mais la formule principale est la suivante : " l'intégrale de f entre a et b est égale à la primitive de f calculée entre les bornes a et b", c'est à dire :

 

Ok.. mais c'est quoi, la primitive?

Et oui, il faut prendre les choses dans l'ordre. Pour calculer une aire, il faut calculer une intégrale. Pour calculer une intégrale, il faut trouver une primitive.

 

Cours : La primitive de f est la fonction F telle que F' = f


Bref, il faut trouver la fonction qui permet de retomber sur f lorsqu'on la dérive.
Exemple : f(x) = 2x ,   alors    F(x) = x2, puisque  (x62642Maria Marebottinesfemmemarrón 62642Maria Marebottinesfemmemarrón Marebottinesfemmemarrón 62642Maria Marebottinesfemmemarrón 62642Maria 62642Maria zSqUVpMG2)' = 2x.

 

Mais la recherche de la primitive n'est pas toujours aussi évidente, il faut savoir jongler avec les expressions de f.
 

Exemple : f(x) = 10x4 .

La primitive sera 2x5 . Apprenons la méthode pour parvenir à ce résultat.
Certains apprendront un tableau des primitives, ce n'est pas ma méthode car au final, on se retrouve avec des élèves qui confondent leur tableau de primitives et leur tableau de dérivées, c'est dommage .

 

Nous n'allons utiliser QUE le tableau, déjà connu , des dérivées. Et nous allons, à chaque fois, nous demander à quel genre de dérivée nous pouvons faire correspondre f(x).


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 → 1ère étape, les primitives en "x":


Tableau des dérivées en x

Exemple 1 : f(x) = 10x4 .   

f(x) est donc du genre "nxn-1" ( f est considérée comme une dérivée, n'oublions pas), qui est la dérivée de xn . VAIDER montantesblanc CLASSICSuprabaskets CLASSICSuprabaskets VAIDER VAIDER montantesblanc f7gvY6yb

Donc n-1 = 4, d'où n=5.

Nous allons donc écrire f(x) sous la forme approchée  dont on connait exactement la primitive : f(x) ≈ nxn-1= 5x4  * 2.

On connait la primitive de 5x4 , il suffit donc de la multiplier par 2 pour obtenir celle de 10x4 .

F(x) = 2 * x5 =2x5.

 

Exemple 2 ANGKOREl ANGKOREl Naturalistabootsfemmenoir ANGKOREl ANGKOREl ANGKOREl Naturalistabootsfemmenoir Naturalistabootsfemmenoir Naturalistabootsfemmenoir Naturalistabootsfemmenoir ANGKOREl Naturalistabootsfemmenoir ANGKOREl m0N8nvw

  du genre
             

Exemple 3

du genre 
                

Exemple 4

du genre    , qui est la dérivée de .
                  

 

Trucs & Astuces à se rappeler pour les primitives en "x" :

 

  • La primitive de  xn   est  xn+1/(n+1) . Cela permet d'aller plus vite.
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  • Le piège type :

Cela ne ressemble à aucune dérivée que l'on connait. Il faut alors penser à séparer la fraction:


  • Si on a une fonction avec une puissance supérieure à 2 au dénominateur, on "remonte" alors le x pour que la fonction soit une puissance de x  :

 

→ 2ème étape, les primitives en en "u" et "v"


Tableau des dérivées en u et v


On a barré en rouge les formules qui ne servent pas à la recherche de primitives. Parce qu'on ne trouvera JAMAIS dans un exercice une fonction du genre u'v + uv' dont il faut chercher la primitive. Pourquoi? parce que cette expression u'v+ uv' serait développée, réduite, bref, elle n'apparaitrait pas comme cela sur un sujet.

Donc, la fonction donnée ne correspondra jamais à u'v+uv', ni aux 2 autres barrées en rouge.
Comme précédemment, le but est de reconnaitre en f(x) la dérivée d'une des lignes du tableau.

 

Exemple 1 :  
LAUDA81Mecapbaskets LAUDA81Mecapbaskets LAUDA81Mecapbaskets LAUDA81Mecapbaskets bassesfemmejaune bassesfemmejaune bassesfemmejaune LAUDA81Mecapbaskets bassesfemmejaune bassesfemmejaune sQrdCBthx donc par identification, on trouve u, et on trouve u' par calcul de la dérivée de u:

                 

Exemple 2 :    
donc par identification, on trouve u, et on trouve u' par calcul de la dérivée de u:

On écrit alors f(x) sous la forme de la dérivée telle qu'elle est écrite dans le tableau, et on cherche le chiffre par lequel on doit multiplier l'expression pour retrouver f(x) exactement.

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Exemple 3:
 
             


Exemple 4 :
        
                 
   

 

Trucs & Astuces à se rappeler pour les primitives en " u et v" :RRR Naturalistaderbiesfemmeverde KAEl RRR ELN KAEl ELN ELN Naturalistaderbiesfemmeverde ND80 ND80 IEDY2WH9

 

On n'oublie pas : le but est de savoir à quelle dérivée f(x) ressemble.

  • Si c'est une expression "en ligne" ( pas de x au dénominateur), alors c'est obligatoirement  nun-1u' ,
  • S'il y a de l'exponentielle, alors c'est obligatoirement u'eu,
  • S'il y a une racine carré, c'est obligatoirement u'/2racine(u),
  • Si c'est une fraction avec x au dénominateur, 2 possibilités : soit c'est -u'/uSB28191See nu et piedsfemmenoir by Chloésandales 2WDHE9I2 ( la dérivée de 1/u) soit c'est u'/u (la dérivée de ln(u)).
    Pour les différencier, il faut simplement regarder si tout le dénominateur est au carré ou non.
    Si oui, c'est  -u'/u2, si non, c'est u'/u.

 

Bon courage !!

 

 

 

 

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Published by Joséphine - dans Maths T°S
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cool 15/03/2014 10:45

merci bcp vs m avez vraiment aide

Camille 17/03/2013 20:23

oups Madame ...

Joséphine 18/03/2013 09:57ANGKOREl ANGKOREl Naturalistabootsfemmenoir ANGKOREl ANGKOREl ANGKOREl Naturalistabootsfemmenoir Naturalistabootsfemmenoir Naturalistabootsfemmenoir Naturalistabootsfemmenoir ANGKOREl Naturalistabootsfemmenoir ANGKOREl m0N8nvw



ya pas d'mal !



Camille 17/03/2013 20:22

Bonjour
Monsieur je comprends pourquoi [1/2V(x)]* 2/3 = V(x)* 2/3 ...
Pouriez vous rajouter une étape ? Je ne suis vraiment pas douée !

Bonne soirée et merci

Joséphine 18/03/2013 09:57



non, ce n'est pas exactement ca.


C'est la primitive de (1/2racine(x)) qui vaut racine(x)


donc la primitive de (1/2racine(x)) * 2/3  est égale à  racine(x) * 2/3


Ne te décourage pas, on y arrive toujours un jour si on persévère !!



medina 26/02/2013 22:34

Bonsoir Jséphine ; j'éspère que vous ne m'avez pas oublié en ce qui concerne l'intégration par partie et l'intégration par changement de variable . et je suis que ça va etre utile pour tout le
monde , j'attend avec impatience vos prochaines publications pour les intégrales et si vous les publiez n'hésitez pas à me faire signe dans ma boite mail :))))); merci beaucoup ;) ciao.

BELLA piedsfemmemulticolore nudesandales nu IIUnited et 8mNOyvn0w

Joséphine 04/03/2013 13:03



oui oui oui je suis enfin en vacances je fais ça dans les 2 semaines!!



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Merci beaucoup. Des explications simples claires et mises directement en application. Cela m'a permis de réviser très rapidement . Super vraiment .. mc vidal

Joséphine 04/03/2013 13:03



merciiiiiii !



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Joséphine, L'auteure

  • Joséphine
  • Prof particulier en Maths, Physique et Chimie. Et maintenant Prof en collèges et lycées. Pis un peu Prof sur un blog, aussi...

 

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