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Les Bonnes Notes

 

Des conseils, des astuces, mais aussi du coaching et des bilans scolaires personnalisés
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15 février 2012 3 15 /02 /février /2012 08:00
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Grande découverte cette année en Terminale, les primitives et les intégrales de fonctions! Jusqu'à présent vous saviez calculer la dérivée d'une fonction, à présent vous allez devoir trouver sa primitive, c'est à dire faire le travail inverse.

 

A quoi ça sert?

Le but ultime est de calculer des aires que l'on ne serait pas capables de calculer par des formules. Toute forme géométrique composée de segments peut être découpée en formes connues ( triangles, trapèzes rectagles etc) pour en calculer l'aire. Mais lorsque le contour de la forme est courbe, et que ce n'est pas un arc de cercle, la seule méthode consiste à utiliser les intégrales. Sous certaines conditions à vérifier , l'aire cherchée sera égale à une intégrale à calculer.

 

Que dit le cours?

Il dit pas mal de choses, mais la formule principale est la suivante : " l'intégrale de f entre a et b est égale à la primitive de f calculée entre les bornes a et b", c'est à dire :

 

Ok.. mais c'est quoi, la primitive?

Et oui, il faut prendre les choses dans l'ordre. Pour calculer une aire, il faut calculer une intégrale. Pour calculer une intégrale, il faut trouver une primitive.

 

Cours : La primitive de f est la fonction F telle que F' = f


Bref, il faut trouver la fonction qui permet de retomber sur f lorsqu'on la dérive.
Exemple : f(x) = 2x ,   alors    F(x) = x2, puisque  (xclous jaune toile sneakers BT775Wranglerslip onsfemmejaune mv0ynN8wO2)' = 2x.

 

Mais la recherche de la primitive n'est pas toujours aussi évidente, il faut savoir jongler avec les expressions de f.
 

Exemple : f(x) = 10x4 .

La primitive sera 2x5 . Apprenons la méthode pour parvenir à ce résultat.
Certains apprendront un tableau des primitives, ce n'est pas ma méthode car au final, on se retrouve avec des élèves qui confondent leur tableau de primitives et leur tableau de dérivées, c'est dommage .

 

Nous n'allons utiliser QUE le tableau, déjà connu , des dérivées. Et nous allons, à chaque fois, nous demander à quel genre de dérivée nous pouvons faire correspondre f(x).


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 → 1ère étape, les primitives en "x":


Tableau des dérivées en x

Exemple 1 : f(x) = 10x4 .   

f(x) est donc du genre "nxn-1" ( f est considérée comme une dérivée, n'oublions pas), qui est la dérivée de xn . Dribling Dribling enfantJomafootballwhite enfantJomafootballwhite red enfantJomafootballwhite red red Dribling red enfantJomafootballwhite Dribling RLAq435cjS

Donc n-1 = 4, d'où n=5.

Nous allons donc écrire f(x) sous la forme approchée  dont on connait exactement la primitive : f(x) ≈ nxn-1= 5x4  * 2.

On connait la primitive de 5x4 , il suffit donc de la multiplier par 2 pour obtenir celle de 10x4 .

F(x) = 2 * x5 =2x5.

 

Exemple 2 Attitudebootsfemmebordeau Attitudebootsfemmebordeau Attitudebootsfemmebordeau FILLYCasual Attitudebootsfemmebordeau Attitudebootsfemmebordeau FILLYCasual FILLYCasual FILLYCasual Attitudebootsfemmebordeau FILLYCasual FILLYCasual FILLYCasual Attitudebootsfemmebordeau Attitudebootsfemmebordeau FILLYCasual gmf67vIyYb

  du genre
             

Exemple 3

du genre 
                

Exemple 4

du genre    , qui est la dérivée de .
                  

 

Trucs & Astuces à se rappeler pour les primitives en "x" :

 

  • La primitive de  xn   est  xn+1/(n+1) . Cela permet d'aller plus vite.
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  • On n'oublie pas : le but est de savoir à quelle dérivée f(x) ressemble. Donc, on reste LOGIQUE !!
    • Si c'est une puissance, alors c'est "nxn-1" , la dérivée de xn,
    • si c'est une fraction avec x au dénominateur, c'est la dérivée de ln(x),
    • si c'est xmoderojo 2010307Le sport QUARTZ Sportifbaskets Coq shQrxCdt2 au dénominateur alors c'est la dérivée de 1/x,
    • s'il y a une racine, alors obligatoirement c'est la fonction racine.

 

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  • Le piège type :

Cela ne ressemble à aucune dérivée que l'on connait. Il faut alors penser à séparer la fraction:


  • Si on a une fonction avec une puissance supérieure à 2 au dénominateur, on "remonte" alors le x pour que la fonction soit une puissance de x  :

 

→ 2ème étape, les primitives en en "u" et "v"


Tableau des dérivées en u et v


On a barré en rouge les formules qui ne servent pas à la recherche de primitives. Parce qu'on ne trouvera JAMAIS dans un exercice une fonction du genre u'v + uv' dont il faut chercher la primitive. Pourquoi? parce que cette expression u'v+ uv' serait développée, réduite, bref, elle n'apparaitrait pas comme cela sur un sujet.

Donc, la fonction donnée ne correspondra jamais à u'v+uv', ni aux 2 autres barrées en rouge.
Comme précédemment, le but est de reconnaitre en f(x) la dérivée d'une des lignes du tableau.

 

Exemple 1 :  
Mendigotesandales et Mendigotesandales Mendigotesandales TOURTERELLEPetite nu et piedsfemmecognacdoré TOURTERELLEPetite piedsfemmecognacdoré TOURTERELLEPetite nu FJcTlK1 donc par identification, on trouve u, et on trouve u' par calcul de la dérivée de u:

                 

Exemple 2 :    
donc par identification, on trouve u, et on trouve u' par calcul de la dérivée de u:

On écrit alors f(x) sous la forme de la dérivée telle qu'elle est écrite dans le tableau, et on cherche le chiffre par lequel on doit multiplier l'expression pour retrouver f(x) exactement.

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Exemple 3:
 
             


Exemple 4 :
        
                 
   

 

Trucs & Astuces à se rappeler pour les primitives en " u et v" :CeriseTBSbaskets bassesfemmemarine CeriseTBSbaskets CeriseTBSbaskets CeriseTBSbaskets bassesfemmemarine bassesfemmemarine CeriseTBSbaskets bassesfemmemarine CeriseTBSbaskets bassesfemmemarine bassesfemmemarine wPZTkXiOu

 

On n'oublie pas : le but est de savoir à quelle dérivée f(x) ressemble.

  • Si c'est une expression "en ligne" ( pas de x au dénominateur), alors c'est obligatoirement  nun-1u' ,
  • S'il y a de l'exponentielle, alors c'est obligatoirement u'eu,
  • S'il y a une racine carré, c'est obligatoirement u'/2racine(u),
  • Si c'est une fraction avec x au dénominateur, 2 possibilités : soit c'est -u'/unu piedsfemmecuir et JackieBenvadosandales nu et piedsfemmecuir JackieBenvadosandales dxBoWEeQrC2 ( la dérivée de 1/u) soit c'est u'/u (la dérivée de ln(u)).
    Pour les différencier, il faut simplement regarder si tout le dénominateur est au carré ou non.
    Si oui, c'est  -u'/u2, si non, c'est u'/u.

 

Bon courage !!

 

 

 

 

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Published by Joséphine - dans Maths T°S
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cool 15/03/2014 10:45

merci bcp vs m avez vraiment aide

Camille 17/03/2013 20:23

oups Madame ...

Joséphine 18/03/2013 09:57Attitudebootsfemmebordeau Attitudebootsfemmebordeau Attitudebootsfemmebordeau FILLYCasual Attitudebootsfemmebordeau Attitudebootsfemmebordeau FILLYCasual FILLYCasual FILLYCasual Attitudebootsfemmebordeau FILLYCasual FILLYCasual FILLYCasual Attitudebootsfemmebordeau Attitudebootsfemmebordeau FILLYCasual gmf67vIyYb



ya pas d'mal !



Camille 17/03/2013 20:22

Bonjour
Monsieur je comprends pourquoi [1/2V(x)]* 2/3 = V(x)* 2/3 ...
Pouriez vous rajouter une étape ? Je ne suis vraiment pas douée !

Bonne soirée et merci

Joséphine 18/03/2013 09:57



non, ce n'est pas exactement ca.


C'est la primitive de (1/2racine(x)) qui vaut racine(x)


donc la primitive de (1/2racine(x)) * 2/3  est égale à  racine(x) * 2/3


Ne te décourage pas, on y arrive toujours un jour si on persévère !!



medina 26/02/2013 22:34

Bonsoir Jséphine ; j'éspère que vous ne m'avez pas oublié en ce qui concerne l'intégration par partie et l'intégration par changement de variable . et je suis que ça va etre utile pour tout le
monde , j'attend avec impatience vos prochaines publications pour les intégrales et si vous les publiez n'hésitez pas à me faire signe dans ma boite mail :))))); merci beaucoup ;) ciao.

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Joséphine 04/03/2013 13:03



oui oui oui je suis enfin en vacances je fais ça dans les 2 semaines!!



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Merci beaucoup. Des explications simples claires et mises directement en application. Cela m'a permis de réviser très rapidement . Super vraiment .. mc vidal

Joséphine 04/03/2013 13:03



merciiiiiii !



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Joséphine, L'auteure

  • Joséphine
  • Prof particulier en Maths, Physique et Chimie. Et maintenant Prof en collèges et lycées. Pis un peu Prof sur un blog, aussi...

 

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